Matrixnormen und Konditionierung

fortgeschrittenviz

∥ A ∥_{p} = x \neq = 0 max \frac{∥ A x ∥ _{p}}{∥ x ∥ _{p}} .

Äquivalent

∥ A ∥_{p} = ∥ x ∥_{p} = 1 max ∥ A x ∥_{p} .

Es misst den maximalen Faktor, mit dem eine Matrix Vektoren gemäß einer gegebenen Norm verstärken kann.

mittelviz

Für $A = (a_{ij}) \in R^{m \times n}$

∥ A ∥_{F} = i = 1 \sum m j = 1 \sum n ∣ a_{ij} ∣^{2} .

Durch einzigartige Werte

∥ A ∥_{F} = i \sum σ_{i}^{2} .

Es erweitert die euklidische Norm auf die Menge aller Einträge einer Matrix.

mittelviz

∥ A ∥_{1} = j max i \sum ∣ a_{ij} ∣.

Es handelt sich um die absolute Maximalsumme einer Spalte.

mittelviz

∥ A ∥_{\infty} = i max j \sum ∣ a_{ij} ∣.

Es ist die absolute Maximalsumme einer Zeile.

fortgeschrittenviz

∥ A ∥_{2} = σ_{m a x} (A) .

Auch

∥ A ∥_{2} = λ_{m a x} (A^{T} A)

Es handelt sich um den größten euklidischen Streckungsfaktor, der von einer Matrix erzeugt wird.

fortgeschrittenviz

Für eine submultiplikative Matrixnorm

∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥.

Die Verstärkung einer Zusammensetzung überschreitet nicht das Produkt der maximalen Verstärkungen jeder Transformation.

fortgeschrittenviz

Für eine invertierbare Matrix und eine kompatible Norm

κ (A) = ∥ A ∥ ∥ A^{- 1} ∥.

Im Standard 2

κ_{2} (A) = \frac{σ _{m a x} ( A )}{σ _{m i n} ( A )} .

Es misst die Empfindlichkeit eines linearen Problems gegenüber kleinen Störungen in den Daten.

Die Formel \|A\|\|A^{-1}\| erfordert, dass A invertierbar ist.
Für eine singuläre Matrix wird die Konditionszahl in diesem Zusammenhang als unendlich betrachtet.