22. Methode der kleinsten Quadrate

Problem der kleinsten Quadrate

Niveau: fortgeschritten

In

Formel

\overset{x}{^} = ar g x min ∥ A x - b ∥_{2}^{2}

Detail

Finden Sie die beste Näherung, wenn Ax=b keine exakte Lösung hat.

Mínimos cuadrados · min ‖Ax − b‖²

Vas a ver que todos los candidatos Ax están restringidos a Col(A), y que mínimos cuadrados elige el más cercano a b.

Pruébalo — Mueve x y observa el error. El mínimo aparece cuando b−Ax es perpendicular al espacio columna.

No minimizamos ‖x‖; minimizamos ‖Ax−b‖².

A: 2×1 · b ∉ Col(A)rango(A) = 1

x̂ = 0.8 · Ax̂ = (0.8, 1.6)

‖r‖₂ = 1.342 · Aᵀr ≈ (0) ≈ 0 ✓

x1.4

x̂=0.8 · ‖r‖₂=1.342 · mínimos cuadrados