13. Komplexe Zahlen

n-te Wurzeln

Niveau: mittel

In

Formel

w_{k} = r^{1/ n} e^{i (θ + 2 π k) / n}

Detail

Die Wurzeln werden gleichmäßig im Kreis verteilt.

Las n raíces de un número complejo tienen el mismo módulo r^1/n y se distribuyen uniformemente alrededor del origen.

Cambia n, r y θ: observa cómo las raíces forman un polígono regular y quedan separadas por 2π/n.

w_k=r^1/n e^i(θ+2πk)/n

|w_k|=1.15 · Δφ=2π/n=72°

r → r^1/n: 2 → 1.15 · θ → (θ+2πk)/n · k=0

Si z rota Δθ, las raíces rotan Δθ/n. · w_n=w₀

_k|=r^1/nz=1.84+0.78iw₀w₁w₂w₃w₄

φ₀=(θ+2π·0)/n=4.58° (0.08 rad)

w₀=1.15(cosφ₀+i sinφ₀)=1.15+0.09i

Comprobación: (w₀)⁵≈1.84+0.78i ≈ z

n=5 · r=2 · θ=22.92° · k=0 · w₀=1.15+0.09i · Δφ=72°

Mostrar polígono de raíces

n5

r2

θ22.92

k0