11. Polynome
Resultierende und Sylvester-Matrix
Niveau: fortgeschritten
In 11. Polynome
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La matriz de Sylvester organiza los coeficientes de dos polinomios. El determinante de esta matriz es su resultante.
Modifica los coeficientes de f y g. Cuando la resultante llega a ≈0, los dos polinomios comparten una raíz. det S(f,g)=0 ⟺ raíz común.
f(x)=x²−3x+2
g(x)=x²−4x+3
f:[1, -3, 2] · g:[1, -4, 3]
Construcción S(f,g)
[a₂,a₁,a₀]=[1,-3,2]
[b₂,b₁,b₀]=[1,-4,3]
[1,-3,2,0]
[0,1,-3,2]
[1,-4,3,0]
[0,1,-4,3]
S(f,g) ∈ ℝ⁴ˣ⁴ (deg f=deg g=2 ⇒ m+n=4)
Res(f,g)=det S(f,g)=≈0
S(f,g) singular · los polinomios poseen al menos una raíz común
Una raíz común es un punto (r,0) en el eje x — no cualquier intersección f=g.
Z_f={1, 2}
Z_g={1, 3}
Z_f ∩ Z_g={1}
f(1)=0 · g(1)=0 · ambos ≈0 ✓
deg f=2, deg g=2 · S:4×4 · Res=≈0 · hay raíz común · x=1
Polinomio f
Polinomio g