8. Ungleichheiten
Absolutwert und Intervalle
Niveau: grundlegend
Detail
Idee erkunden
|x| es la distancia de x al 0. Por eso |x|<a y |x|≤a dan soluciones dentro del intervalo entre −a y a; |x|>a y |x|≥a dan soluciones fuera de ese intervalo.
Los casos con < o ≤ generan una región centrada en 0; los casos con > o ≥ generan dos regiones exteriores simétricas.
Inecuación activa
|x|<2.5
|x|<2.5: la distancia de x al 0 es menor que 2.5.
Equivalencias
|x|<2.5
⟺ -2.5<x<2.5
⟺ x∈(-2.5,2.5)
Distancia al 0 menor que a → interior abierto.
Recta numérica · distancia al 0
|x|<2.5 ⟺ -2.5<x<2.5
Solución: (-2.5,2.5)
Inecuación valor absoluto de x < 2.5. Equivale a -2.5<x<2.5. Solución (-2.5,2.5).
Ampliación (centrado en h)
La misma idea vale para |x−h|<a: el intervalo (o el exterior) se centra en h en lugar de en 0. Por ejemplo, |x−3|<2 ⟺ 1<x<5.
Desigualdad
a≥0 porque una distancia no puede ser negativa. Prueba a=0 para ver ∅, solo el 0, todo excepto el 0, o toda la recta según el operador.