5. Faktorisierung
Gemeinsamer Faktor
Niveau: grundlegend
Detail
Idee erkunden
Los términos ab y ac comparten el factor a. Geométricamente, ambos rectángulos tienen el mismo lado a.
Al unirlos, ese lado no cambia y los anchos b y c se suman. El nuevo rectángulo mide a por b+c. Factorizar es la inversa de aplicar la distributiva.
Forma principal
ab+ac · factor común: a
ab+ac ⇄ a(b+c)
Demostración geométrica
Dos rectángulos separados con la misma altura a (el factor común).
- ab = 3·2.7 = 8.1
- ac = 3·3.2 = 9.6
- ab+ac = 8.1+9.6 = 17.7
- a(b+c) = 3(5.9) = 17.7
Paso a paso algebraico
ab+ac = a·b+a·c
= a(b+c)
Los dos factores a se extraen como un único factor común externo.
Ejemplo actual
3(2.7)+3(3.2) = 8.1+9.6 = 17.7
3(2.7+3.2) = 3(5.9) = 17.7
3(2.7)+3(3.2) = 3(2.7+3.2)
Generalización
El mismo principio funciona con expresiones más complejas. Ejemplo: 6x²+9x = 3x(2x+3), donde 3x es el factor común de ambos términos.
ab+ac = 8.1+9.6 = 17.7
Hay dos rectángulos de la misma altura a igual a 3. El primero tiene ancho b igual a 2.7 y área ab igual a 8.1; el segundo tiene ancho c igual a 3.2 y área ac igual a 9.6. Al unirlos forman un rectángulo de altura a y ancho b más c.
La identidad es válida algebraicamente para números reales; esta visualización utiliza valores no negativos porque representan longitudes.