Normes matricielles et conditionnement

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∥ A ∥_{p} = x \neq = 0 max \frac{∥ A x ∥ _{p}}{∥ x ∥ _{p}} .

De façon équivalente

∥ A ∥_{p} = ∥ x ∥_{p} = 1 max ∥ A x ∥_{p} .

Il mesure le facteur maximum avec lequel une matrice peut amplifier des vecteurs selon une norme donnée.

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Pour $A = (a_{ij}) \in R^{m \times n}$

∥ A ∥_{F} = i = 1 \sum m j = 1 \sum n ∣ a_{ij} ∣^{2} .

À travers des valeurs singulières

∥ A ∥_{F} = i \sum σ_{i}^{2} .

Il étend la norme euclidienne à l'ensemble de toutes les entrées d'une matrice.

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∥ A ∥_{1} = j max i \sum ∣ a_{ij} ∣.

C'est la somme maximale absolue d'une colonne.

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∥ A ∥_{\infty} = i max j \sum ∣ a_{ij} ∣.

C'est la somme maximale absolue d'une ligne.

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∥ A ∥_{2} = σ_{m a x} (A) .

Aussi

∥ A ∥_{2} = λ_{m a x} (A^{T} A)

C'est le plus grand facteur d'étirement euclidien produit par une matrice.

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Pour une norme matricielle sous-multiplicative

∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥.

L'amplification d'une composition ne dépasse pas le produit des amplifications maximales de chaque transformation.

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Pour une matrice inversible et une norme compatible

κ (A) = ∥ A ∥ ∥ A^{- 1} ∥.

En norme 2

κ_{2} (A) = \frac{σ _{m a x} ( A )}{σ _{m i n} ( A )} .

Il mesure la sensibilité d'un problème linéaire à de petites perturbations dans les données.

La formule \|A\|\|A^{-1}\| nécessite que A soit inversible.
Pour une matrice singulière, le numéro de condition est considéré comme infini dans ce contexte.