24. Normes matricielles et conditionnement
Sous-multiplicativité
Niveau: avancé
Pour une norme matricielle sous-multiplicative
Détail
L'amplification d'une composition ne dépasse pas le produit des amplifications maximales de chaque transformation.
Explore l’idée
Vas a ver por qué encadenar dos transformaciones no puede amplificar más que el producto de sus máximos estiramientos.
Pruébalo — Mueve el vector x o modifica A y B. Compara ‖ABx‖ con ‖A‖·‖B‖·‖x‖.
Norma: ‖·‖₂Cota alcanzada
x
‖x‖₂ = 1
Bx
‖Bx‖₂ = 2
ABx
‖ABx‖₂ = 6
x → B → Bx → A → ABx
‖x‖₂ = 1 · ‖Bx‖₂ = 2 · ‖ABx‖₂ = 6
Presupuesto de estiramiento
- B puede amplificar hasta × 2
- A puede amplificar después hasta × 3
- Techo compuesto × 6
- Amplificación real máxima de AB × 6
Razón respecto de la cota: ρ = ‖AB‖₂ / (‖A‖₂·‖B‖₂) = 1
‖A‖₂·‖B‖₂ = 6 · ‖AB‖₂ = 6 · ρ = 1