20. Valores propios y diagonalización

Potencias por diagonalización

Nivel: avanzado

En

Fórmula

A^{n} = P D^{n} P^{- 1}

Detalle

Simplifica potencias de matrices y recurrencias.

Potencias Aⁿ = PDⁿP⁻¹

Diagonaliza una vez; potencia la diagonal. Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹ — no hace falta multiplicar A · A · … n veces.

Pruébalo — Sube n con crecimiento/decadencia: una dirección CRECE y la otra DECAE.

Coordenadas c = P⁻¹x (base oblicua OK). Nunca uses productos escalares como si P fuera ortogonal.

Diagonalizableλ₁ⁿ: CRECE (8)λ₂ⁿ: DECAE (0.13)

n=33

x→P⁻¹→c→Dⁿ→Dⁿc→P→Aⁿx

Pipeline: cambiar a coordenadas propias → potenciar D → volver con P.

P

10.7100.71

D

2000.5

P⁻¹

1-101.41

Dⁿ (n=3)

8000.13

Trayectoria x, Ax, …, Aⁿx

Aⁿ = PDⁿP⁻¹ · n = 3