20. Valores propios y diagonalización
Diagonalización
Nivel: intermedio
Fórmula
Detalle
Representa A en una base de vectores propios.
Explora la idea
Diagonalización A = PDP⁻¹
Buscamos una base de autovectores donde A solo escala: en esas coordenadas, A se ve diagonal D.
Pruébalo — Prueba «Base oblicua»: P no es ortogonal — las coordenadas usan P⁻¹x, no productos escalares.
A = PDP⁻¹ ⇔ P⁻¹AP = D. Si P no es ortogonal, P⁻¹ ≠ Pᵀ.
Diagonalizableλ₁ = 2 · v₁ = (1, 0)λ₂ = 1 · v₂ = (0.71, -0.71)
c = P⁻¹x = (2.7, -1.56)·x = 2.7 v₁ + -1.56 v₂·Dc = (5.4, -1.56)·P(Dc) = (4.3, 1.1) = Ax ✓
P
10.710-0.71
D
2001
P⁻¹
110-1.41
x = (1.6, 1.1) · c = P⁻¹x = (2.7, -1.56) · Ax = (4.3, 1.1)
Diagonalizable ✓ · P⁻¹AP = D ✓