24. Normas matriciales y condicionamiento

Norma de Frobenius

Nivel: intermedio

En 24. Normas matriciales y condicionamiento

Para

A=(a_{ij})\in\mathbb R^{m\times n}

\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2}.

Mediante los valores singulares

\|A\|_F = \sqrt{\sum_i\sigma_i^2}.

Detalle

Extiende la norma euclidiana al conjunto de todas las entradas de una matriz.

Explicación intuitiva

Trata la matriz como un vector largo formado por todas sus entradas y calcula su longitud euclidiana: suma de cuadrados y raíz.

Derivación

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^2}

es la norma

\ell_2

del vector

\mathrm{vec}(A)

. Con SVD,

\|A\|_F^2=\sum_i\sigma_i^2

Ejemplo resuelto

Para

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

se tiene

\|A\|_F=\sqrt{1+4+9+16}=\sqrt{30}\approx5{,}48

También conocido como

Frobenius norm
norma euclidiana de matriz
Frobenius norm formula
matrix Frobenius norm
norma de Frobenius fórmula

Temas relacionados

Normas matriciales y distancias

Última revisión: 2026-09-14

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Mediante los valores singulares

\|A\|_F = \sqrt{\sum_i\sigma_i^2}.

Detalle

Extiende la norma euclidiana al conjunto de todas las entradas de una matriz.

Explicación intuitiva

Trata la matriz como un vector largo formado por todas sus entradas y calcula su longitud euclidiana: suma de cuadrados y raíz.

Derivación

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^2}

es la norma

\ell_2

del vector

\mathrm{vec}(A)

. Con SVD,

\|A\|_F^2=\sum_i\sigma_i^2

Ejemplo resuelto

Para

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

se tiene

\|A\|_F=\sqrt{1+4+9+16}=\sqrt{30}\approx5{,}48

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norma euclidiana de matriz
Frobenius norm formula
matrix Frobenius norm
norma de Frobenius fórmula

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