22. Mínimos cuadrados

Pseudoinversa

Nivel: avanzado

En

Fórmula

\overset{x}{^} = A^{+} b; A^{+} = V Σ^{+} U^{T}

Detalle

Produce soluciones de mínimos cuadrados de norma mínima.

Pseudoinversa · A⁺

Vas a ver cómo A⁺ encuentra la mejor solución cuando Ax=b no puede resolverse con una inversa ordinaria.

Pruébalo — Cambia el preset o edita A,b y observa cómo Ax̂ es el punto de Col(A) más cercano a b.

Si hay muchas soluciones exactas, A⁺ elige la de menor norma.

3×2rango=2SOBREDETERMINADO

x̂ = A⁺b = (1.333, 1.333) ∈ ℝⁿ

b̂ = Ax̂ = (1.333, 1.333, 2.667) ∈ ℝᵐ

||r||₂ = 0.577 · Aᵀr ≈ (0, 0) ≈ 0 ✓

AA⁺ proyecta b sobre Col(A). Distingue x̂ ∈ ℝⁿ de b̂ ∈ ℝᵐ.

ℝⁿ=2—A→ℝᵐ=3|ℝᵐ—A⁺→ℝⁿ

3×2 · rango=2 · ||r||=0.577 · mínimos cuadrados