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28 · Códigos lineales y corrección de errores

> Aplicación algebraica de espacios vectoriales y cuerpos finitos. Esta sección introduce el núcleo matemático de los códigos lineales sin convertir el curso en una materia completa de Teoría de Códigos.

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Código lineal sobre un cuerpo finito

Código lineal sobre un cuerpo finito ALG-COD-001 avanzado Un conjunto de palabras código cerrado bajo suma y multiplicación por escalares del cuerpo finito. ALG-EST-006 ALG-ESP-001 ALG-COD-002 ALG-COD-003 finite_field un

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Código lineal sobre un cuerpo finito se denomina código lineal [n,k]_q.

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Matriz generadora

Matriz generadora ALG-COD-002 avanzado Convierte un mensaje de \(k\) símbolos en una palabra código de \(n\) símbolos. ALG-MAT-004 ALG-EST-006 ALG-COD-001 ALG-COD-003 matrix codificación como producto vector-matriz en un

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Matriz generadora Un mensaje \mathbf m\in\mathbb F_q^k se codifica mediante

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Matriz de comprobación de paridad

Matriz de comprobación de paridad ALG-COD-003 avanzado Define restricciones lineales que toda palabra código válida debe satisfacer. ALG-COD-001 ALG-COD-002 ALG-COD-004 ALG-ORT-001 matrix una palabra válida produce un ve

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Síndrome

Síndrome ALG-COD-004 avanzado Resume qué restricciones de paridad incumple una palabra recibida. ALG-COD-003 ALG-COD-005 ALG-COD-006 error_correction un error cambia el síndrome sin necesidad de comparar con el mensaje o

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Síndrome Si \mathbf r=\mathbf c+\mathbf e, entonces

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Distancia y peso de Hamming

Distancia y peso de Hamming ALG-COD-005 avanzado Cuenta cuántas posiciones difieren entre dos palabras. ALG-VEC-006 ALG-COD-004 ALG-COD-006 error_correction distancia como número de símbolos distintos. d H( x, y) = |\ i:

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Distancia y peso de Hamming El peso de Hamming es

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Distancia mínima, detección y corrección

Distancia mínima, detección y corrección ALG-COD-006 avanzado La separación entre palabras código determina la capacidad teórica de detección y corrección. ALG-COD-001 ALG-COD-005 ALG-COD-007 error_correction bolas de Ha

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Distancia mínima, detección y corrección Un código con distancia mínima d_{\min} puede detectar hasta

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Distancia mínima, detección y corrección errores y corregir hasta

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Distancia mínima, detección y corrección errores en el modelo clásico de errores de símbolos.

28 · Códigos lineales y corrección de errores

Tasa de un código lineal

Tasa de un código lineal ALG-COD-007 avanzado Fracción de símbolos de la palabra codificada que representan información independiente. ALG-COD-001 ALG-COD-006 error_correction relación entre información y redundancia. R=

29 · Mapas de relaciones

Álgebra booleana → De Morgan → XOR → Simplificación lógica Congruencias → Inversos modulares → CRT/Fermat → Cuerpos finitos Cuerpos finitos → Códigos lineales → G/H → Síndrome → Distancia de Hamming → Corrección