4. Produits et identités notables
Carré d'une somme
Niveau: fondamental
Détail
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Un cuadrado de lado a+b tiene área (a+b)². Al dividir cada lado en una parte a y otra b, aparecen cuatro regiones.
Sus áreas son a², ab, ab y b². Como hay dos rectángulos de área ab, juntos aportan 2ab. Por eso (a+b)² = a²+2ab+b².
Identidad general
(a+b)² = a²+2ab+b²
Demostración geométrica
Paso 1 de 5 — cuadrado completo de lado a+b (aún sin partir).
Estos botones solo cambian qué parte de la demostración se muestra. No cambian los valores de a y b (eso lo hacen los deslizadores de abajo).
Misma área, dos cálculos
1. Área del cuadrado completo: A=(a+b)²=5²=25
2. Área por regiones: A=a²+ab+ab+b²=9+6+6+4=25
3. Agrupación: A=a²+2ab+b²=9+12+4=25
4. Igualdad: ambos cálculos miden el mismo cuadrado, por tanto (a+b)²=a²+2ab+b².
Ejemplo actual
(3+2)² = 3²+2(3)(2)+(2)²
25 = 9+12+4 = 25
regiones: 9+6+6+4=25
(3+2)² = 9+12+4 = 25
El cuadrado tiene lado a más b, igual a 5. Está dividido en un cuadrado de área a al cuadrado igual a 9, dos rectángulos de área a por b igual a 6 cada uno, y un cuadrado de área b al cuadrado igual a 4. Los dos rectángulos aportan 2ab igual a 12. El área total es 25.
a y b son longitudes geométricas (a≥0, b≥0). La identidad algebraica vale también con negativos, pero aquí no se representan longitudes negativas.