24. Norme e condizionamenti della matrice
Numero di condizione
Livello: avanzato
Per una matrice invertibile e una norma compatibile
Nella norma 2
Dettaglio
Misura la sensibilità di un problema lineare a piccole perturbazioni nei dati.
Esplora l’idea
Vedrai che il numero di condizionamento dice se un sistema è sensibile agli errori.
Prova — Fai ( basso): la maglia si appiattisce e il problema diventa mal condizionato.
Aproximación de bajo rango
Se truncan las componentes singulares pequeñas: A_k = Σ_{i≤k} σ_i u_i v_iᵀ conserva la energía dominante y descarta el resto.
Pruébalo — Mueve k y observa barras, A_k y el residual. En Compresión compara almacenamiento mn vs k(m+n+1).
Eckart–Young: A_k es óptima en ‖·‖F y ‖·‖₂ entre las matrices de rango ≤ k.
k2
rango exacto = 4k = 2energía 97.4%‖A−Aₖ‖F = 1.54‖A−Aₖ‖₂ ≈ σ3 = 1.5
Valores singulares σᵢ
8.4σ1
4.1σ2
1.5σ3
0.35σ4
conservados (i≤k) descartados
Ak = σ1 u1 v1ᵀ + σ2 u2 v2ᵀ
A
7.91.1-1.10.80.640.6-0.1-0.70.61.60.30.5-0.60.10.51.50.4-0.60.2
Aₖ
7.91.2-1.30.80.63.90.9-0.03-0.90.90.4-0.10.5-0.6-0.20.11.60.3-0.20.2
A − Aₖ
0.04-0.10.20.02-0.10.1-0.3-0.030.2-0.31.20.40.02-0.10.30.4-0.10.1-0.30.01
k=2/4 · energía 97.4% · ‖A−Aₖ‖F=1.54
Condizioni
- La formula \|A\|\|A^{-1}\| richiede che A sia invertibile.
- Per una matrice singolare, il numero di condizione è considerato infinito in questo contesto.