Sezione 11

Polinomi

intermedio

P (x) = D (x) Q (x) + R (x), de g R < de g D

Dividi i polinomi con quoziente e resto.

Vedi dettaglio →

teorema del resto

intermedio

P (x) \div (x - a) \Rightarrow R = P (a)

Il resto della divisione per x-a è P(a).

Vedi dettaglio →

teorema dei fattori

intermedio

P (a) = 0 ⟺ (x - a) es factor de P (x)

Collegare radici e fattori lineari.

Vedi dettaglio →

Fattorizzazione della radice

intermedio

P (x) = a_{n} k = 1 \prod n (x - r_{k})

Fattorizzazione completa su un campo contenente le radici.

Vedi dettaglio →

Relazioni Viète

intermedio

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}; r_{1} r_{2} = \frac{c}{a}

Mettere in relazione radici e coefficienti di una quadratica.

Vedi dettaglio →

Teorema delle radici razionali

intermedio

r = p / q \Rightarrow p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}

Riduci i candidati razionali alle radici di un polinomio intero.

Vedi dettaglio →

Polinomio multivariabile

intermedioviz

P (x_{1}, \dots, x_{n}) = α \sum c_{α} x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Generalizzare i polinomi di una variabile in espressioni con più variabili algebriche.

Vedi dettaglio →

dove $α = (α_{1}, \dots, α_{n})$ è un multiindice di numeri interi non negativi.

Multiindice e grado totale

intermedioviz

x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Forma equivalente

∣ α ∣ = α_{1} + \dots + α_{n} .

Forma equivalente

de g P = c_{α} \neq = 0 max ∣ α ∣.

Misura il grado di termini con più variabili sommando i loro esponenti.

Vedi dettaglio →

il suo grado totale è

Il grado totale di un polinomio diverso da zero è

Polinomio omogeneo

intermedioviz

Esempio

P (x, y) = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}

Forma equivalente

P (t x_{1}, \dots, t x_{n}) = t^{d} P (x_{1}, \dots, x_{n}) .

Tutti i termini hanno lo stesso grado totale.

Vedi dettaglio →

È omogeneo del grado $2$ .

Una proprietà caratteristica è

Sistema di equazioni polinomiali

avanzatoviz

⎩ ⎨ ⎧ P_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 ⋮ P_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0.

Trova punti che soddisfano contemporaneamente più polinomi.

Vedi dettaglio →

Risultante e matrice di Sylvester

avanzatoviz

Per due polinomi univariati $f \(x)$ e $g \(x)$ , la risultante può essere definita dalla matrice di Sylvester

Res (f, g) = det S (f, g) .

A proposito di un corpo e considerando le radici in una chiusura algebrica

Res (f, g) = 0 ⟺ f y g tienen una ra \overset{ı}{ˊ} z com \overset{u}{ˊ} n .

Rileva algebricamente se due polinomi condividono una radice e funge da strumento di eliminazione.

Vedi dettaglio →

Sezione 11

Polinomi

Divisione euclidea

intermedio

P (x) = D (x) Q (x) + R (x), de g R < de g D

Dividi i polinomi con quoziente e resto.

Vedi dettaglio →

teorema del resto

intermedio

P (x) \div (x - a) \Rightarrow R = P (a)

Il resto della divisione per x-a è P(a).

Vedi dettaglio →

teorema dei fattori

intermedio

P (a) = 0 ⟺ (x - a) es factor de P (x)

Collegare radici e fattori lineari.

Vedi dettaglio →

Fattorizzazione della radice

intermedio

P (x) = a_{n} k = 1 \prod n (x - r_{k})

Fattorizzazione completa su un campo contenente le radici.

Vedi dettaglio →

Relazioni Viète

intermedio

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}; r_{1} r_{2} = \frac{c}{a}

Mettere in relazione radici e coefficienti di una quadratica.

Vedi dettaglio →

Teorema delle radici razionali

intermedio

r = p / q \Rightarrow p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}

Riduci i candidati razionali alle radici di un polinomio intero.

Vedi dettaglio →

Polinomio multivariabile

intermedioviz

P (x_{1}, \dots, x_{n}) = α \sum c_{α} x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Generalizzare i polinomi di una variabile in espressioni con più variabili algebriche.

Vedi dettaglio →

dove $α = (α_{1}, \dots, α_{n})$ è un multiindice di numeri interi non negativi.

Multiindice e grado totale

intermedioviz

x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Forma equivalente

∣ α ∣ = α_{1} + \dots + α_{n} .

Forma equivalente

de g P = c_{α} \neq = 0 max ∣ α ∣.

Misura il grado di termini con più variabili sommando i loro esponenti.

Vedi dettaglio →

il suo grado totale è

Il grado totale di un polinomio diverso da zero è

Polinomio omogeneo

intermedioviz

Esempio

P (x, y) = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}

Forma equivalente

P (t x_{1}, \dots, t x_{n}) = t^{d} P (x_{1}, \dots, x_{n}) .

Tutti i termini hanno lo stesso grado totale.

Vedi dettaglio →

È omogeneo del grado $2$ .

Una proprietà caratteristica è

Sistema di equazioni polinomiali

avanzatoviz

⎩ ⎨ ⎧ P_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 ⋮ P_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0.

Trova punti che soddisfano contemporaneamente più polinomi.

Vedi dettaglio →

Risultante e matrice di Sylvester

avanzatoviz

Per due polinomi univariati $f \(x)$ e $g \(x)$ , la risultante può essere definita dalla matrice di Sylvester

Res (f, g) = det S (f, g) .

A proposito di un corpo e considerando le radici in una chiusura algebrica

Res (f, g) = 0 ⟺ f y g tienen una ra \overset{ı}{ˊ} z com \overset{u}{ˊ} n .

Rileva algebricamente se due polinomi condividono una radice e funge da strumento di eliminazione.

Vedi dettaglio →