Polinomio omogeneo

Livello: intermedio

Esempio

P (x, y) = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}

Forma equivalente

P (t x_{1}, \dots, t x_{n}) = t^{d} P (x_{1}, \dots, x_{n}) .

Dettaglio

Tutti i termini hanno lo stesso grado totale.

Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos tienen el mismo grado total. En este ejemplo, x², xy e y² tienen grado 2.

Mueve t y observa qué ocurre al escalar simultáneamente x e y: el valor se multiplica por t². P(tx,ty)=t²P(x,y).

P(x,y)=x²+0.4xy−0.6y²

x²

deg=2 · (2,0)

0.4xy

1+1=2 · (1,1)

-0.6y²

deg=2 · (0,2)

2=2=2 · d=2 (calculado) · homogéneo de grado 2

Comprobación P(tx,ty) ?=? t²P(x,y)

P(1,1)=0.8

t=1.5 → (1.5,1.5)

P(tx,ty)=1.8

t²P=1.8 ✓

Se cumple P(tx,ty)=t²P(x,y).

P(tx,ty)=a(tx)²+b(tx)(ty)+c(ty)²=t²(ax²+bxy+cy²)=t²P(x,y)

El punto escalado se mueve sobre el rayo desde el origen. Color = valor de P, no el grado.

2=2=2 ∴ homogéneo de grado 2

P(x,y)=x²+0.4xy−0.6y² · d=2 · t=1.5 · t²=2.25

P(1.5x,1.5y)=1.8 = 2.25·P=1.8

t1.5

x₀1

y₀1

b0.4

c-0.6