24. Normas matriciais e condicionamento

Norma Frobenius

Nível: intermedio

Em 24. Normas matriciais e condicionamento

Para

A=(a_{ij})\in\mathbb R^{m\times n}

\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2}.

Através dos valores singulares

\|A\|_F = \sqrt{\sum_i\sigma_i^2}.

Detalhe

Estende a norma euclidiana ao conjunto de todas as entradas da matriz.

Explicação intuitiva

Trata la matriz como un vector largo formado por todas sus entradas y calcula su longitud euclidiana: suma de cuadrados y raíz.

Derivação

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^2}

es la norma

\ell_2

del vector

\mathrm{vec}(A)

. Con SVD,

\|A\|_F^2=\sum_i\sigma_i^2

Exemplo resolvido

Para

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

se tiene

\|A\|_F=\sqrt{1+4+9+16}=\sqrt{30}\approx5{,}48

Também conhecido como

Frobenius norm
norma euclidiana de matriz
Frobenius norm formula
matrix Frobenius norm
norma de Frobenius fórmula

Temas relacionados

Normas matriciais e distâncias

Última revisão: 2026-09-14

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\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2}.

Através dos valores singulares

\|A\|_F = \sqrt{\sum_i\sigma_i^2}.

Detalhe

Estende a norma euclidiana ao conjunto de todas as entradas da matriz.

Explicação intuitiva

Trata la matriz como un vector largo formado por todas sus entradas y calcula su longitud euclidiana: suma de cuadrados y raíz.

Derivação

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^2}

es la norma

\ell_2

del vector

\mathrm{vec}(A)

. Con SVD,

\|A\|_F^2=\sum_i\sigma_i^2

Exemplo resolvido

Para

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

se tiene

\|A\|_F=\sqrt{1+4+9+16}=\sqrt{30}\approx5{,}48

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Frobenius norm formula
matrix Frobenius norm
norma de Frobenius fórmula

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