22. Mínimos quadrados
Problema dos mínimos quadrados
Nível: avançado
Fórmula
Detalhe
Busca a melhor aproximação quando Ax=b não tem solução exata.
Explore a ideia
Mínimos cuadrados · min ‖Ax − b‖²
Vas a ver que todos los candidatos Ax están restringidos a Col(A), y que mínimos cuadrados elige el más cercano a b.
Pruébalo — Mueve x y observa el error. El mínimo aparece cuando b−Ax es perpendicular al espacio columna.
No minimizamos ‖x‖; minimizamos ‖Ax−b‖².
Mínimos cuadrados: x=1.4, x̂=0.8, ‖r‖₂=1.342, sin solución exacta
A: 2×1 · b ∉ Col(A)rango(A) = 1
x̂ = 0.8 · Ax̂ = (0.8, 1.6)
‖r‖₂ = 1.342 · Aᵀr ≈ (0) ≈ 0 ✓
x1.4
x̂=0.8 · ‖r‖₂=1.342 · mínimos cuadrados