17. Determinantes e inversos
Expansão do cofator
Nível: intermediário
Fórmula
Detalhe
Expande um determinante ao longo de uma linha ou coluna.
Explore a ideia
Expansión por cofactores
Vas a ver que el determinante se puede expandir por una fila o columna (cofactores).
Pruébalo — Elige fila o columna, selecciona un término aᵢⱼ y compara menor Mᵢⱼ frente a cofactor Cᵢⱼ. Con ceros, la expansión se acorta.
A3×3
det(A) = -11
Expansión por fila 1. Término seleccionado: a₁₁
Menor M11
Borra la fila 1 y la columna 1 (atenuadas). El menor es el determinante de la submatriz 2×2 restante.
2
1
3
0
-1
2
1
4
0
M112×2
det(M) = ad − bc = -8
Cofactor C11
El cofactor añade el signo (−1)ⁱ⁺ʲ al menor. No confundas Mᵢⱼ con Cᵢⱼ.
signo (−1)ⁱ⁺ʲ = (−1)1+1 = +1
Cᵢⱼ = (1) · Mᵢⱼ = (1)(-8) = -8
término aᵢⱼ Cᵢⱼ = (2)(-8) = -16
Expansión completa (fila 1)
det(A) = + +
= −16 + 2 + 3 = -11
= −16 + 2 + 3 = -11
Celdas eliminadas al formar el menor actual: fila 1 y columna 1 (5 entradas atenuadas arriba).
El menor Mᵢⱼ es el det de la submatriz al borrar fila i y columna j. El cofactor es Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ. det(A) = Σ aᵢⱼ Cᵢⱼ sobre una fila o columna.