Start/Analysis II/Bestimmtes Integral und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung/Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungAbschnitt 3.3Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungTeil I. Falls fff stetig ist undFormelvizLaTeX kopierenG(x)=∫axf(t) dt,G(x)=\int_a^x f(t)\,dt,G(x)=∫axf(t)dt,Details ansehen →dann giltFormelLaTeX kopierenG′(x)=f(x).G'(x)=f(x).G′(x)=f(x).Details ansehen →Allgemeiner, nach der Kettenregel:LaTeX kopierenddx∫ag(x)f(t) dt=f(g(x))g′(x).\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))g'(x).dxd∫ag(x)f(t)dt=f(g(x))g′(x).Details ansehen →Mit beiden variablen Grenzen:LaTeX kopierenddx∫u(x)v(x)f(t) dt=f(v(x))v′(x)−f(u(x))u′(x).\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).dxd∫u(x)v(x)f(t)dt=f(v(x))v′(x)−f(u(x))u′(x).Details ansehen →Teil II. Falls F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x), dann giltFormelLaTeX kopieren∫abf(x) dx=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).∫abf(x)dx=F(b)−F(a).Details ansehen →
Allgemeiner, nach der Kettenregel:LaTeX kopierenddx∫ag(x)f(t) dt=f(g(x))g′(x).\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))g'(x).dxd∫ag(x)f(t)dt=f(g(x))g′(x).Details ansehen →
Mit beiden variablen Grenzen:LaTeX kopierenddx∫u(x)v(x)f(t) dt=f(v(x))v′(x)−f(u(x))u′(x).\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).dxd∫u(x)v(x)f(t)dt=f(v(x))v′(x)−f(u(x))u′(x).Details ansehen →
FormelLaTeX kopieren∫abf(x) dx=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).∫abf(x)dx=F(b)−F(a).Details ansehen →