Inhalt

A.8. Integrale mit $a^{2} - u^{2}$

Übliche reelle Bedingungen: $a > 0$ , $∣ u ∣ \leq a$ ; falls die Wurzel oder $u$ im Nenner vorkommt, müssen die Randpunkte bzw. $u = 0$ ausgeschlossen werden.

Formel

\int a^{2} - u^{2} d u = \frac{u}{2} a^{2} - u^{2} + \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{u}{a} + C

Hinweis: Im Quellcode der App erscheinen die letzten beiden Formeln mit $(a^{2} + u^{2})$ statt $(a^{2} - u^{2})$ ; die korrekte Form ist die Differenz der Quadrate.

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Formel

\int u^{2} a^{2} - u^{2} d u = \frac{u}{8} (2 u^{2} - a^{2}) a^{2} - u^{2} + \frac{a ^{4}}{8} arcsin \frac{u}{a} + C

Hinweis: Im Quellcode der App erscheinen die letzten beiden Formeln mit $(a^{2} + u^{2})$ statt $(a^{2} - u^{2})$ ; die korrekte Form ist die Differenz der Quadrate.

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Formel

\int \frac{a ^{2} - u ^{2}}{u} d u = a^{2} - u^{2} - a ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C

$ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C$
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Formel

\int \frac{a ^{2} - u ^{2}}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u} a^{2} - u^{2} - arcsin \frac{u}{a} + C

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Formel

\int \frac{u ^{2} d u}{a ^{2} - u ^{2}} = - \frac{u}{2} a^{2} - u^{2} + \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{u}{a} + C

Hinweis: Im Quellcode der App erscheinen die letzten beiden Formeln mit $(a^{2} + u^{2})$ statt $(a^{2} - u^{2})$ ; die korrekte Form ist die Differenz der Quadrate.

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Formel

\int \frac{d u}{u a ^{2} - u ^{2}} = - \frac{1}{a} ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C

$ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C$
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Formel

\int \frac{d u}{u ^{2} a ^{2} - u ^{2}} = - \frac{a ^{2} - u ^{2}}{a ^{2} u} + C

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Formel

\int (a^{2} - u^{2})^{3/2} d u = - \frac{u}{8} (2 u^{2} - 5 a^{2}) a^{2} - u^{2} + \frac{3 a ^{4}}{8} arcsin \frac{u}{a} + C

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\int \frac{d u}{( a ^{2} - u ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{u}{a ^{2} a ^{2} - u ^{2}} + C

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A.8. Integrale mit $a^{2} - u^{2}$

Übliche reelle Bedingungen: $a > 0$ , $∣ u ∣ \leq a$ ; falls die Wurzel oder $u$ im Nenner vorkommt, müssen die Randpunkte bzw. $u = 0$ ausgeschlossen werden.

Formel

\int a^{2} - u^{2} d u = \frac{u}{2} a^{2} - u^{2} + \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{u}{a} + C

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\int u^{2} a^{2} - u^{2} d u = \frac{u}{8} (2 u^{2} - a^{2}) a^{2} - u^{2} + \frac{a ^{4}}{8} arcsin \frac{u}{a} + C

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\int \frac{a ^{2} - u ^{2}}{u} d u = a^{2} - u^{2} - a ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C

$ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C$
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\int \frac{a ^{2} - u ^{2}}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u} a^{2} - u^{2} - arcsin \frac{u}{a} + C

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\int \frac{u ^{2} d u}{a ^{2} - u ^{2}} = - \frac{u}{2} a^{2} - u^{2} + \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{u}{a} + C

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\int \frac{d u}{u a ^{2} - u ^{2}} = - \frac{1}{a} ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C

$ln \frac{a + a ^{2} - u ^{2}}{u} + C$
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\int \frac{d u}{u ^{2} a ^{2} - u ^{2}} = - \frac{a ^{2} - u ^{2}}{a ^{2} u} + C

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\int (a^{2} - u^{2})^{3/2} d u = - \frac{u}{8} (2 u^{2} - 5 a^{2}) a^{2} - u^{2} + \frac{3 a ^{4}}{8} arcsin \frac{u}{a} + C

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\int \frac{d u}{( a ^{2} - u ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{u}{a ^{2} a ^{2} - u ^{2}} + C

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