23. Matrix decompositions
QR decomposition
Level: advanced
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Q has orthonormal columns and R is upper triangular.
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Descomposición QR
QR construye una base ortonormal de Col(A); R guarda las coordenadas de las columnas de A en esa base.
Pruébalo — En Construcción: Paso 1/6…6/6 (A → q₁ → proyección → q₂ → R → QR). Usa Siguiente o el reproductor. Prueba el preset Dependientes.
A = QR · Q tiene columnas ortonormales (no solo una «rotación») · R es triangular superior.
QᵀQ ≈ IR △rango 2A ≈ QR
Paso 1 de 6: A
A → q₁ → proyección → q₂ → R → QRPulsa un paso del recorrido, o usa Anterior / Siguiente. El gráfico cambia qué vectores se muestran.
A
2
1
0.5
2
Columnas a₁, a₂ de A (arrástralas). QR construirá una base ortonormal del mismo span.
a₁ = r₁₁ q₁ → (2.062) · q₁·a₂ = r₁₂ q₁ + r₂₂ q₂·q₁·q₂ = 0
«Siguiente» avanza al paso «q₁» y actualiza el gráfico.
QᵀQ ≈ I ✓ · R triangular ✓ · ‖A−QR‖_F ≈ 0 ≈ 0 ✓
A = QR · rango completo · reconstrucción OK