28. Linear codes and error correction

Parity-check matrix

Level: advanced

In

A parity-check matrix

H

satisfies, for every codeword

c

H c^{T} = 0 .

Equivalent form

H \in F_{q}^{(n - k) \times n} .

Moreover, with compatible conventions for

G

and

H

G H^{T} = 0.

Detail

Defines linear constraints that every valid codeword must satisfy.

Vas a ver cómo cada fila de H define una comprobación de paridad. Una palabra código es válida cuando todas dan cero.

Pruébalo — Cambia los bits de la palabra y observa qué comprobaciones se cumplen, cuáles fallan y cómo cambia el síndrome.

F₂H: 1×3

Palabra · r

123

101

Resultado

✓ Pertenece al código · Hrᵀ = 0

s = [0]ᵀ

Comprobación 1

posiciones 1, 2, 3 → 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0

✓ Satisfecha

Esta H exige paridad par: c₁ ⊕ c₂ ⊕ c₃ = 0, es decir c₁ = c₂ = c₃.

s=[0] · válida