7. Equations
Completing the square
Level: fundamental
In 7. Equations
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Completar el cuadrado consiste en convertir una expresión cuadrática en un cuadrado perfecto, añadiendo y luego compensando la misma cantidad.
La cantidad que se añade es (b/2)², porque el término lineal bx se reparte en dos rectángulos de base x y ancho b/2.
Modelo geométrico con x>0 y b≥0 (longitudes y áreas positivas). Este procedimiento también sirve para resolver ecuaciones cuadráticas y derivar la fórmula cuadrática.
Identidad objetivo
x²+bx = (x+b/2)² − (b/2)²
Construcción por áreas
Paso 1 de 6 — Expresión original
Partimos de x²+bx. El cuadrado x² y el término lineal bx aún no forman un cuadrado perfecto.
Expresión original x²+bx = 15.
Álgebra del paso actual
x²+bx = 9+6 = 15
Verificación numérica
x² = 9
cada rectángulo x·(b/2) = 3
bx = 2·3 = 6
(b/2)² = (1)² = 1
(x+b/2)² = (4)² = 16
x²+bx = 15 · (x+b/2)²−(b/2)² = 16−1 = 15
La identidad se cumple con los valores actuales.
x²+bx = 15
(x+b/2)² − (b/2)² = 16 − 1 = 15
Paso 1 de 6: Expresión original. x=3, b=2, b/2=1. x al cuadrado = 9, bx = 6, esquina = 1. Cuadrado completo = 16. Identidad: 15 = 16 − 1 = 15. Expresión original x²+bx = 15.
Restricción geométrica: x>0 y b≥0. Con b=0 la esquina desaparece y la identidad es trivial.